Besondere Punkte im Dreieck

In einem Dreieck gibt es viele besondere Punkte. Die vier wichtigsten davon sind der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt.

Arbeitsmittel

Höhenschnittpunkt

Die Höhe im Dreieck ist der kürzeste Abstand (= Normalabstand) eines Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.

ha: durch den Punkt A senkrecht auf die Seite a
hb: durch den Punkt B senkrecht auf die Seite b
hc: durch den Punkt C senkrecht auf die Seite c
Alle drei Höhen schneiden sich in einem Punkt:
Dem Höhenschnittpunkt H.
Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der
Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der
Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks.

Wie viele unterschiedliche Höhen gibt es in einem Dreieck?

Umkreismittelpunkt

Um jedes Dreieck kann ein Kreis gezeichnet werden der durch alle drei Eckpunkte geht.

Dieser Kreis wird Umkreis genannt und dessen Mittelpunkt U ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt.
Alle Punkte, die von A und B den selben Abstand haben, liegen auf der Streckensymmetrale von AB.
Alle Punkte, die von B und C den selben Abstand haben, liegen auf der Streckensymmetrale von BC.
Dort wo sich die Streckensymmetralen schneiden, liegt jener Punkt der von allen Eckpunkten gleich weit entfernt ist - der Umkreismittelpunkt U.
Beim spitzwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks.
Beim stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.
Beim rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf einer Seite des Dreiecks.

Schwerpunkt

Wenn du ein Geodreieck an einem Ende aufhängst (oder leicht festhältst), bildet die zum Boden senkrechte Linie eine sogenannte Schwerlinie.
Sie teilt das Dreieck in zwei genau gleich große (schwere) Teile.
Oft wird die Schwerlinie auch Seitenhalbierende genannt, weil sie die Seite gegenüber des Eckpunktes halbiert. Entlang einer solchen Linie kann das Dreieck balanciert werden. Probier's doch einfach mal aus.
Du kannst von allen drei Eckpunkten eine Schwerlinie einzeichnen und du wirst bemerken, dass sie sich alle in einem ganz besonderen Punkt schneiden.
Dem Schwerpunkt S.
Wenn du dein Geodreieck mit dem Schwerpunkt auf deinen Finger setzt, kannst du es balacieren.
Der Schwerpunkt teilt die Schwerlinien im Verhältnis 2 : 1.

Inkreismittelpunkt

In jedem Dreieck kann ein Kreis gezeichnet werden der alle drei Seiten berührt.

Dieser Kreis wird Inkreis genannt und dessen Mittelpunkt I ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt.
Alle Punkte, die von b und c den selben Abstand haben, liegen auf der Winkelsymmetrale von α.
Alle Punkte, die von c und a den selben Abstand haben, liegen auf der Winkelsymmetrale von β.
Dort wo sich die Winkelsymmetralen schneiden, liegt jener Punkt der von allen Seiten gleich weit entfernt ist - der Inkreismittelpunkt I.
Der Inkreis ist der größtmögliche Kreis der vollständig in das Dreieck hinein passt.

Euler'sche Gerade

In jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S und der Umkreismittelpunkt U immer auf einer gemeinsamen Geraden - der Euler'schen Geraden e.

Sie wird nach dem schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt.
Der Inkreismittelpunkt I liegt normalerweise nicht auf der Euler'schen Geraden....
...nur in Ausnahmefällen.