Dreiecke konstruieren

Ein Dreieck hat 6 Bestimmungsstücke – 3 Seiten und 3 Winkel. Ein Dreieck ist im Allgemeinen durch drei Bestimmungsstücke festgelegt, wenn mindestens eines davon eine Länge ist.

Arbeitsmittel

Vier Möglichkeiten ein Dreieck zu konstruieren

Die Längen aller drei Seiten sind gegeben.
Der Seiten-Seiten-Seiten-Satz (SSS)

Die Längen von zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
Der Seiten-Winkel-Seiten-Satz (SWS)

Die Länge einer Seite und die beiden anliegenden Winkel sind gegeben.
Der Winkel-Seiten-Winkel-Satz (WSW)

Die Längen von zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel sind gegeben.
Der Seiten-Seiten-Winkel-Satz (SSW)

Der Seiten-Seiten-Seiten-Satz - SSS

Wenn von einem Dreieck alle 3 Seiten bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: a = 6 cm, b = 4 cm, c = 7 cm

Wir zeichnen eine der drei Seiten, z.B. c = 7 cm.
Wir stellen den Zirkel auf a = 6 cm, stechen in B ein und ziehen einen Kreisbogen.
Wir stellen den Zirkel auf b = 4 cm, stechen in A ein und ziehen einen Kreisbogen.
Dort wo die Kreisbögen sich schneiden, liegt der Punkt C.
Er ist von B 6 cm und von A 4 cm entfernt.
Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.

Es gibt einen Fall, bei dem sich aus 3 Seiten kein Dreieck konstruieren lässt. Weißt du wann?

Merksatz

Seiten-Seiten-Seiten-Satz: Wenn von einem Dreieck alle drei Seiten gegeben sind,
kann es eindeutig konstruiert werden, sofern die Summe aus je zwei Seitenlängen
größer als die dritte Seitenlänge ist.

Der Seiten-Winkel-Seiten-Satz - SWS

Wenn von einem Dreieck 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: α = 45°, b = 4 cm, c = 7 cm

Wir zeichnen eine der zwei Seiten, z.B. c = 7 cm.
Wir zeichnen beim Punkt A den Winkel α = 45°.
Wir tragen die Länge von b = 4 cm auf den Winkel auf.
Am Ende der Seite b liegt der Punkt C.
Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.

Merksatz

Seiten-Winkel-Seiten-Satz:
Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind,
kann es eindeutig konstruiert werden.

Der Winkel-Seiten-Winkel-Satz - WSW

Wenn von einem Dreieck eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: α = 60°, β = 35°, c = 7 cm

Wir zeichnen die Seite c = 7 cm.
Wir zeichnen beim Punkt A den Winkel α = 60°.
Wir zeichnen beim Punkt B den Winkel β = 35°.
Wo sich die Schenkel der Winkel treffen, liegt der Punkt C.
Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.

Merksatz

Winkel-Seiten-Winkel-Satz:
Wenn von einem Dreieck eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gegeben sind,
kann es eindeutig konstruiert werden.

Der Seiten-Seiten-Winkel-Satz - SSW

Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind, kann es wie folgt konstruiert werden:
gegeben: α = 30°, a = 4 cm, c = 3 cm

Wir beginnen mit der Seite die am Winkel anliegt (c = 3 cm).
Wir zeichnen beim Punkt A den Winkel α = 30°.
Wir stellen den Zirkel auf a = 4 cm, stechen in B ein und ziehen einen Kreisbogen.
Dort, wo sich der Schenkel des Winkels (graue gepunktete Linie) und der Kreisbogen treffen, liegt der Punkt C.
Wir verbinden die Punkte und das Dreieck ist fertig.

Wenn die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite jedoch kürzer als die andere gegebene Seite ist, dann können zwei Fälle eintreten:

Wenn die Seite lang genug ist, kann es zwei mögliche Lösungen geben (C1 oder C2).

Wenn die Seite zu kurz ist, dann gibt es keine Lösung.

Merksatz

Seiten-Seiten-Winkel-Satz:
Wenn von einem Dreieck zwei Seiten und der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel
gegeben sind, kann es eindeutig konstruiert werden.